Question

“光盤行動”倡導厲行節約反對鋪張浪費，帶動大家珍惜糧食，吃光盤子中的食物．為調查某地區響應“光盤行動”的實際情況，某校幾位同學組成研究性學習小組，從某社區[10，60]歲的人群中隨機抽取n人進行了一次調查，得到如下統計表：

分組	頻數	頻率	“光盤族”占本組的比例
[10，20﹚	150	0.15	30%
[20，30﹚	200	y	45%
[30，40﹚	300	0.3	50%
[40，50﹚	x	0.2	55%
[50，60﹚	150	0.15	50%

（Ⅰ）求x，y，n的值，并估計本社區[10，60]歲的人群中“光盤族”人數所占的比例；
（Ⅱ）從年齡段在[20，30）與[30，40）的“光盤族”中，采用分層抽樣法抽取8人參加節約糧食宣傳活動，并從這8人中選取2人作為領隊，求2名領隊的年齡之和X的分布列和數學期望（假定每人年齡段的中間值計算）．

Answer 1

考點：頻率分布直方圖,分層抽樣方法

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）根據各小組的頻率和為1，求出y的值，根據樣本容量與頻率、頻數的關系求出n、x的值，計算“光盤族”人數所占的比例即可；
（Ⅱ）求出年齡段在[20，30）與[30，40）的“光盤族”人數，用分層抽樣法抽取的人數，得出X的可能值，求出概率，寫出分布列與期望．

解答： 解：（Ⅰ）根據各小組的頻率和為1，得；
0.15+y+0.3+0.2+0.15=1，
∴y=0.2；
∴n=150÷0.15=1000，
x=1000×0.2=200，
又∵150×30%+200×45%+300×50%+200×55%+150×50%=470，
∴470÷1000=0.47，
∴估計本社區[10，60]歲的人群中“光盤族”人數所占的比例為47%；
（Ⅱ）年齡段在[20，30）的“光盤族”有90人，在[30，40）的“光盤族”有150人，
采用分層抽樣法從中抽取8人，在[20，30）的應抽8×

90

90+150

=3人，在[30，40）的應抽5人，
從這8人中選取2人作為領隊，則這2名領隊的年齡之和X的可能值為50、60、70；
∴P（X=50）=

C 2 3

C 2 8

=

3

28

，
P（X=60）=

C 1 3 C 1 5

C 2 8

=

15

28

，
P（X=70）=

C 2 5

C 2 8

=

10

28

；
∴X的分布列為：

X	50	60	70
P（X）	3 28	15 28	10 28

∴X的數學期望是EX=50×

3

28

+60×

15

28

+70×

10

28

=62.5（假定按每人年齡段的中間值計算）．

點評：本題考查了頻率分布表與離散型隨機變量的分布列與數學期望的計算問題，是基礎性題目．