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設a＞0，b＞0，且a+b=1，求證：(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2≥
25
2
．
分析：利用基本不等式，先證明
1
ab
≥4，再利用(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2≥2(
a+
1
a
+b+
1
b
2
)2=2(
1+
1
a
+
1
b
2
)2，即可得到結論．
解答：證明：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，
∴
ab
≤
a+b
2
=
1
2
，
∴ab≤
1
4
，∴
1
ab
≥4，
∴(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2≥2(
a+
1
a
+b+
1
b
2
)2=2(
1+
1
a
+
1
b
2
)2=2(
1+
a+b
ab
2
)2=2(
1+
1
ab
2
)2≥2(
1+4
2
)2=
25
2

即(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2≥
25
2
．
點評：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

設a＞0，b＞0，且a≠b，試比較aabb與abba的大小．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設a＞0，b＞0，且2a+b=1，則
2
a
+
1
b
的最小值是
9
9
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•保定一模）設a＞0，b＞0，且a+b=2，
1
a
+
1
b
的最小值為m，記滿足x2+y2≤3m的所有整點坐標為（xi，yi）（i=1，2，3，…，n），則
n
i=1
|xiyi|
20
20
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設a＞0，b＞0，且a+b≤4，則有（　　）
A、
1
ab
≥
1
2
B、
ab
≥2
C、
1
a
+
1
b
≥1
D、
1
a+b
≤
1
4

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