Question

6．設向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=6，|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{c}$|，且$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$，則|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|的取值范圍為（　　）

• A． [4，8]
• B． [4$\sqrt{2}$，8$\sqrt{2}$]
• C． （4，8）
• D． （4$\sqrt{2}$，8$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 根據題意，設（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）與$\overrightarrow{a}$的夾角為θ，由向量數量積的運算性質有|$\overrightarrow{b}$|²=[（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）-$\overrightarrow{a}$]²=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²-2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$+|$\overrightarrow{a}$|²=40-24cosθ，分析可得|$\overrightarrow{b}$|的范圍，又由|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{c}$|，且$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$，則|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{b}$|，分析可得答案．

解答 解：根據題意，設（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）與$\overrightarrow{a}$的夾角為θ，$\overrightarrow{b}$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）-$\overrightarrow{a}$，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=6，
則|$\overrightarrow{b}$|²=[（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）-$\overrightarrow{a}$]²=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²-2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$+|$\overrightarrow{a}$|²=40-24cosθ，
即16≤|$\overrightarrow{b}$|²≤64，
分析可得：4≤|$\overrightarrow{b}$|≤8，
又由|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{c}$|，且$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$，則|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{b}$|，
則有4$\sqrt{2}$≤|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|≤8$\sqrt{2}$，
故|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|的取值范圍為[4$\sqrt{2}$，8$\sqrt{2}$]，
故選：B．

點評 本題考查向量的數量積的計算，涉及向量加減以及模的計算，關鍵是掌握向量的加減法的幾何意義．