Question

14．在三棱錐A-BCD中AB=AC=1，DB=DC=2，AD=BC=$\sqrt{3}$，則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為（　　）

• A． π
• B． $\frac{7π}{4}$
• C． 4π
• D． 7π

Answer 1

分析 建立坐標系，求出外接球的球心，計算外接球的半徑，從而得出外接球面積．

解答 解：∵AB=AC=1，AD=BC=$\sqrt{3}$，BD=CD=2，
∴AB⊥AD，AC⊥AD，
∴AD⊥平面ABC，
在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$=-$\frac{1}{2}$，
∴∠ABC=120°，
以AC為x軸，以AD為z軸建立如圖所示的坐標系：
則A（0，0，0），B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），C（1，0，0），D（0，0，$\sqrt{3}$），
設棱錐A-BCD的外接球球心為M（x，y，z），
則x²+y²+z²=（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+z²=（x-1）²+y²+z²=x²+y²+（z-$\sqrt{3}$）²，
解得x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，z=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴外接球的半徑為r=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∴外接球的表面積S=4πr²=7π．
故選D．

點評 本題考查了棱錐與外接球的位置關系，屬于中檔題．