Question

對于區間[m，n]，定義n-m為區間[m，n]的長度，若函數f（x）=ax²-2x+1（a＞0）在任意長度為2的閉區間上總存在兩點x₁，x₂，使|f（x₁）-f（x₂）|≥1成立，則實數a的最小值為

1

．

Answer 1

分析：要使函數f（x）=ax²-2x+1（a＞0）在任意長度為2的閉區間上總存在兩點x₁，x₂，使|f（x₁）-f（x₂）|≥1成立，只需要|f(

1

a

-1)-f(

1

a

)|≥1恒成立，從而可求實數a的最小值

解答：解：要使函數f（x）=ax²-2x+1（a＞0）在任意長度為2的閉區間上總存在兩點x₁，x₂，使|f（x₁）-f（x₂）|≥1成立，只需要|f(

1

a

-1)-f(

1

a

)|≥1恒成立
∵f（x）=ax²-2x+1=a(x-

1

a

)2-

1

a

+1
∴|f(

1

a

-1)-f(

1

a

)|=|a|≥1
∵a＞0
∴a≥1
∴實數a的最小值為1
故答案為：1

點評：本題以新定義為素材，考查對新定義的理解，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是將問題轉化為|f(

1

a

-1)-f(

1

a

)|≥1恒成立