Question

對(duì)于區(qū)間[m，n]上有意義的兩個(gè)函數(shù)f（x）與g（x），如果對(duì)任意x∈[m，n]均有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是接近的；否則，稱f（x）與g（x）在[m，n]上是非接近的．現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)f₁（x）=log_a（x-3a）與f2(x)=loga

1

x-a

（a＞0且a≠1），f₁（x）與f₂（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上都有意義，
（1）求a的取值范圍；
（2）問f₁（x）與f₂（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上是否為接近的？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）要使f₁（x）與f₂（x）有意義，則有

x-3a＞0 x-a＞0 a＞0且a≠1

，由此能求出a的取值范圍．
（2）f₁（x）與f₂（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上是接近的?|f1(x)-f(x2)|≤1?|loga(x-3a)-loga

1

x-a

|≤1?|loga[(x-3a)(x-a)]|≤1?a≤(x-2a)2-a2≤

1

a

對(duì)于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．由此入手能夠推導(dǎo)出當(dāng)

9- 57

12

＜a＜1時(shí)，f₁（x）與f₂（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上是非接近的．

解答：解：（1）要使f₁（x）與f₂（x）有意義，則有

x-3a＞0 x-a＞0 a＞0且a≠1

要使f₁（x）與f₂（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上都有意義，等價(jià)于：

a+2＞3a a＞0且a≠1

所以0＜a＜1．
（2）f₁（x）與f₂（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上是接近的，?|f1(x)-f(x2)|≤1?|loga(x-3a)-loga

1

x-a

|≤1?|loga[(x-3a)(x-a)]|≤1?a≤(x-2a)2-a2≤

1

a

對(duì)于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．
設(shè)h（x）=（x-2a）²-a²，x∈[a+2，a+3]，
且其對(duì)稱軸x=2a＜2在區(qū)間[a+2，a+3]的左邊，
?

a≤h(x)min 1 a ≥h(x)max

?

a≤h(a+2) 1 a ≥h(a+3)

?

a≤4-4a 1 a ≥9-6a

?

a≤ 4 5 a≤ 9- 57 12 或a≥ 9+ 57 12

?0＜a≤

9- 57

12

，
所以，當(dāng)0＜a≤

9- 57

12

時(shí)，f₁（x）與f₂（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上是接近的；
當(dāng)

9- 57

12

＜a＜1時(shí)，f₁（x）與f₂（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上是非接近的．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意函數(shù)恒成立的充要條件的合理運(yùn)用．