Question

設橢圓M：（a＞b＞0）的離心率為，長軸長為，設過右焦點F傾斜角為θ的直線交橢圓M于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）求證|AB|=；
（Ⅲ）設過右焦點F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由橢圓的性質求解．
（Ⅱ）將直線和橢圓方程聯立，用韋達定理，再用弦長公式求解．
（III）用（II）的方法表示出|CD|，再有|AB|+|CD|=+=，再用三角函數求得最值．
解答：解：（Ⅰ）根據題意可得：
⇒
所求橢圓M的方程為（4分）
（Ⅱ）當θ≠，設直線AB的斜率為k=tanθ，焦點F（3，0），
則直線AB的方程為y=k（x-3）
有⇒（1+2k²）x²-12k²x+18（k²-1）=0
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
有x₁+x₂=，x₁x₂=
|AB|=**（6分）
又因為k=tanθ=代入**式得
|AB|=（8分）
當θ=時，直線AB的方程為x=3，
此時|AB|=（10分）
而當θ=時，|AB|==
綜上所述所以|AB|=（11分）
（Ⅲ）過右焦點F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，
同理可得|CD|==（12分）
有|AB|+|CD|=+=
因為sin2θ∈[0，1]，
所以當且僅當sin2θ=1時，
|AB|+|CD|有最小值是（16分）
點評：本題主要考查橢圓方程的求法和直線與橢圓中弦長公式的應用，滲透了函數求最值的問題．