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設橢圓M:(a>b>0)的離心率與雙曲線x2-y2=1的離心率互為倒數,且內切于圓x2+y2=4.
(1)求橢圓M的方程;
(2)若直線y=x+m交橢圓于A、B兩點,橢圓上一點,求△PAB面積的最大值.
【答案】分析:(1)由于雙曲線的離心率為,可得橢圓的離心率,又圓x2+y2=4的直徑為4,則2a=4,從而列出關于a,b,c的方程求得a,b,c.最后寫出橢圓M的方程;
(2)直線AB的直線方程:.將直線的方程代入橢圓的方程,消去y得到關于x的一元二次方程,再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得△PAB面積的最大值,從而解決問題.
解答:解:(1)雙曲線的離心率為,則橢圓的離心率為(2分)圓x2+y2=4的直徑為4,則2a=4,
得:
所求橢圓M的方程為.(6分)
(2)直線AB的直線方程:
,得
,得-2<m<2
,
=(9分)
又P到AB的距離為
當且僅當取等號
. (12分)
點評:本題主要考查了橢圓的標準方程問題.當研究橢圓和直線的關系的問題時,常可利用聯立方程,進而利用韋達定理來解決.
練習冊系列答案
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(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(2)設過右焦點F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C,D,求|AB|+|CD|的最小值.

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