Question

設橢圓M：（a＞b＞0）的離心率與雙曲線x²-y²=1的離心率互為倒數，且內切于圓x²+y²=4．
（1）求橢圓M的方程；
（2）若直線y=x+m交橢圓于A、B兩點，橢圓上一點，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于雙曲線的離心率為，可得橢圓的離心率，又圓x²+y²=4的直徑為4，則2a=4，從而列出關于a，b，c的方程求得a，b，c．最后寫出橢圓M的方程；
（2）直線AB的直線方程：．將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得△PAB面積的最大值，從而解決問題．
解答：解：（1）雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率為（2分）圓x²+y²=4的直徑為4，則2a=4，
得：⇒
所求橢圓M的方程為．（6分）
（2）直線AB的直線方程：．
由，得，
由，得-2＜m＜2
∵，．
∴=（9分）
又P到AB的距離為．
則當且僅當取等號
∴． （12分）
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程問題．當研究橢圓和直線的關系的問題時，常可利用聯立方程，進而利用韋達定理來解決．