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設橢圓M:(a>b>0)的離心率為,長軸長為,設過右焦點F傾斜角為θ的直線交橢圓M于A,B兩點.
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(2)設過右焦點F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C,D,求|AB|+|CD|的最小值.
【答案】分析:(Ⅰ)根據題意列出關于a,b,c的方程組;解之即得a,b,從而寫出所求橢圓M的方程;
(Ⅱ)當θ≠,設直線AB的斜率為k=tanθ,焦點F ( 3,0 ),則直線AB的方程為y=k ( x-3 ),將直線的方程代入拋物線的方程,消去y得到關于x的一元二次方程,再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得|AB|+|CD|的最小值,從而解決問題.
解答:解:(Ⅰ)所求橢圓M的方程為…(3分)
(Ⅱ)當θ≠,設直線AB的斜率為k=tanθ,焦點F ( 3,0 ),則直線AB的方程為y=k ( x-3 )有⇒( 1+2k2 )x2-12k2x+18( k2-1 )=0
設點A ( x1,y1 ),B ( x2,y2 )有x1+x2=,x1x2=
|AB|=
又因為k=tanθ=代入**式得|AB|=
當θ=時,直線AB的方程為x=3,此時|AB|=
而當θ=時,|AB|==
∴|AB|=
同理可得|CD|==
有|AB|+|CD|=+=
因為sin2θ∈[0,1],所以 當且僅當sin2θ=1時,|AB|+|CD|有最小值是
點評:本小題主要考查橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識,考查運算求解能力與轉化思想.屬于中檔題.
練習冊系列答案
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(2)若直線y=x+m交橢圓于A、B兩點,橢圓上一點,求△PAB面積的最大值.

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