Question

函數f（x）為定義在R上的偶函數，且滿足f（x+1）+f（x）=1，當x∈[1，2]時，f（x）=2-x，則f（-2013）=（　�。�

A．-1

B．1

C．2

D．-2

Answer 1

分析：利用函數f（x）為定義在R上的偶函數，且滿足f（x+1）+f（x）=1，可求得f（x+2）=f（x），再結合x∈[1，2]時f（x）=2-x，即可求得答案．

解答：解：∵f（x+1）+f（x）=1，①
用-x代替x得：f（-x+1）+f（-x）=1，②
∵f（x）為定義在R上的偶函數，f（-x）=f（x），
∴②式可化為：f（-x+1）+f（x）=1③
由①③得：f（x+1）=f（1-x），
∴f[（x+1）+1]=f[1-（x+1）]=f（-x）=f（x），即f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以2為周期的函數，又f（x）為定義在R上的偶函數，
又x∈[1，2]時f（x）=2-x，
∴f（-2013）=f（2013）=f（1）=2-1=1，
故選B．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查函數的奇偶性與周期性，求得f（x+2）=f（x）是關鍵，也是難點，屬于中檔題．