Question

 

對于給定數列，如果存在實常數、,使得 對于任意都成立，我們稱數列是 “線性數列”．

（I）如果，，，那么數列、是否為“線性數列”？

若是，分別指出它們對應的實常數、；若不是，請說明理由；

（II）若數列滿足，，為常數．

① 求數列前項的和；

② 是否存在實數，使數列是“線性數列”，如果存在，求出所有的值；如果不存在，請說明理由.

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（I）因為則有_，

故數列是“線性數列”， 對應的實常數、分別為_.

 因為，則有 ,         

故數列是“線性數列”， 對應的實常數、分別為………4分

（II）（1）因為  則有， ， 

故數列前項的和++++

 ……………8分

注：本題也可以先求出，然后求和.

（2）假設數列是“線性數列”， 則存在實常數

使得對于任意都成立，于是對于任意都成立，因此對于任意都成立，

而，

則有對于任意都成立，可以得到.

①當時，，，，經檢驗滿足條件.

②當 時，，，經檢驗滿足條件.

因此當且僅當或，時，數列也是“線性數列”.

對應的實常數分別為, 或．    …………………………………13分