Question

已知圓經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點．

（1）求橢圓的方程；

（2）過原點的射線與橢圓在第一象限的交點為，與圓的交點為，為的中點，求的最大值.

 

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：本題考查直線、圓、橢圓、平面向量、分式函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；考查運算求解能力、推理論證能力；考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化及函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想．第一問，數(shù)形結(jié)合，令y=0，x=0即可分別求出c和b的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，設(shè)出直線方程和P、Q點坐標(biāo)，令直線與橢圓聯(lián)立得到Q點橫坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積，將P、Q點坐標(biāo)代入，得到關(guān)于k的表達式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；法二，將進行轉(zhuǎn)化，變成，再利用配方法求最值.

試題解析：（1）在中，

令得，即，令，得，即， 2分

由，∴橢圓：. 4分

（2）法一：依題意射線的斜率存在，設(shè)，設(shè) -5分

得：，∴. 6分

得：，∴， 7分

∴. 9分

．

設(shè)，，

令，得．

又，∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. 11分

∴當(dāng)時，，即的最大值為. 13分

法二：依題意射線的斜率存在，設(shè)，設(shè) 5分

得：，∴. 6分

= 9分

.

設(shè)，則.

當(dāng)且僅當(dāng)即.

法三：設(shè)點，，

6分

= . 7分

又，

設(shè)與聯(lián)立得： . 9分

令. 11分

又點在第一象限，∴當(dāng)時，取最大值. 13分

考點：直線、圓、橢圓、平面向量、分式函數(shù).