Question

若函數f（x）=（1-x）（x²+ax+b）的圖象關于點（-2，0）對稱，x₁，x₂分別是f（x）的極大值和極小值點，則x₁-x₂=

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：函數f（x）=（1-x）（x²+ax+b）的圖象關于點（-2，0）對稱，可得f^″（-2）=0，f（-2）=0，可得a，b，進而得出極值點，即可得出．

解答： 解：函數f（x）=（1-x）（x²+ax+b）=-x³+（1-a）x²+（a-b）x+b．
f′（x）=-3x²+2（1-a）x+（a-b），
f^″（x）=-6x+2（1-a），
∵函數f（x）=（1-x）（x²+ax+b）的圖象關于點（-2，0）對稱，
∴f^″（-2）=0，f（-2）=0，
∴12+2-2a=0，3（4-2a+b）=0，
解得a=7，b=10．
∴f（x）=-x³-6x²-3x+10．
令f′（x）=-3x²-12x-3=-3（x²+4x+1）=0，
解得x=-2±

3

，
令f′（x）＞0，解得-2-

3

＜x＜-2+

3

，此時函數f（x）單調遞增；令f′（x）＜0，解得x＞-2+

3

，或x＜-2-

3

，此時函數f（x）單調遞減．
∴f（x）的極大值和極小值點分別為-2+

3

=x₁，-2-

3

=x₂．
∴x₁-x₂=2

3

．
故答案為：2

3

．

點評：本題考查了三次函數的得出中心的性質、利用導數研究函數的單調性極值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．