Question

設f（x）是定義域為R的周期函數，且f（x）最小正周期為2，且f（1+x）=f（1-x），當-1≤x≤0時，f（x）=-x．
（1）判定f（x）的奇偶性；
（2）試求出函數f（x）在[-1，2]上的表達式．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是最小正周期為 2的函數，且f（1+x）=f（1-x），知f（1+x）=f（-（1+x）），得f（x）是偶函數；
（2）由-1≤x≤0時，f（x）=-x，得0≤x≤1時，f（x）；由f（x）是最小正周期為 2的函數，得1≤x≤2時，f（x）；

解答：解：（1）∵f（x）是R上的周期函數，最小正周期為2，且f（1+x）=f（1-x），
∴對于任意x∈R，都有f（1+x）=f（1-x）=f（1-x-2）=f（-1-x）=f（-（1+x）），
即f（-x）=f（x）；所以，f（x）是R上的偶函數；
（2）∵當-1≤x≤0時，f（x）=-x，
∴當0≤x≤1時，有-1≤-x≤0，
∴f（-x）=-（-x）=x，又f（x）是偶函數，∴f（-x）=f（x），∴f（x）=x；
當1≤x≤2時，有-1≤x-2≤0，且f（x）是最小正周期為 2的函數，
∴f（x）=f（x-2）=-（x-2）=-x+2；
∴f（x）在[-1，2]上的表達式為：f（x）=

-x      (-1≤x≤0) x         (0≤x≤1) -x+2  (1≤x≤2)

；

點評：本題考查了函數的解析式求法，奇偶性的判定等知識，是基礎題．