Question

【題目】設橢圓的左、右焦點分別為，，，是上的點，的面積最大值為，直線與交于兩點，且（為坐標原點）

（1）求橢圓的方程；

（2）求證：到直線的距離為定值，并求其定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析，

【解析】

（1）由題意可得，解得a、b、c，進而得橢圓的方程.

（2）利用分類討論，當直線l斜率存在時，設其方程，代入橢圓方程，將轉化為，即，再根據韋達定理及向量數量積的坐標運算，得出關于根據點到直線的距離公式得出

（1）設橢圓C的半焦距為c，由題意可知，

當P為橢圓C的上頂點或下頂點時，的面積取得最大值.

所以，所以，，

故橢圓C的標準方程為.

（2）當直線l斜率存在時，設其方程為，

由 ，整理得：，

由，整理得：

設，，則由韋達定理得：

，

，即，

，

整理得，

化簡得： ，滿足，

點O到直線的距離為，

當直線斜率不存在時，由對稱性可求得直線方程為，也滿足題意.

故到直線的距離為定值，其值為.