Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線(xiàn)方程；

（2）當(dāng)時(shí)恒有成立，求滿(mǎn)足條件的m的范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，令方程有兩個(gè)不同的根，，且滿(mǎn)足，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）求出和即可

（2）由，得，即

（3）先利用導(dǎo)數(shù)得出在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中，然后分別求出在處的切線(xiàn)方程和在處的切線(xiàn)，然后結(jié)合圖象即可證明.

（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，．

．

∵．

∴函數(shù)在處的切線(xiàn)方程為：．

（2）由題意，當(dāng)時(shí)恒有成立，

即對(duì)任意成立．

∵當(dāng)時(shí)，恒成立，

∴對(duì)任意恒成立．

∴．

∴m的取值范圍為．

（3）證明：由題意，當(dāng)時(shí)，．

．

①令，即，

根據(jù)圖，很明顯交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在1與之間，設(shè)為，

即的解為，（），且．

②令，即x，解得；

③令，即，解得．

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得極小值．

∵，．

∴根據(jù)題意，畫(huà)圖如下：

由圖，①設(shè)函數(shù)在處的切線(xiàn)為，

∵．

∴直線(xiàn)的直線(xiàn)方程：，

令，解得；

②設(shè)函數(shù)在處的切線(xiàn)為，

∵．∴直線(xiàn)的直線(xiàn)方程：，

令，解得．

∴