Question

直線l過點(diǎn)P(8，6)，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，求直線l的方程．

Answer 1

答案：x－y－2=0$x＋y－14＝0
解析：

思維分析1：直線l與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，必須且只需直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等且不為0． 解法1：設(shè)直線l的方程為，或(a≠0)． 當(dāng)直線l的方程為時(shí)， ∵點(diǎn)P(8，6)在直線l上， ∴，∴a＝14． ∴直線l的方程為x＋y－14=0． 當(dāng)直線l的方程為時(shí)，同理可求得a=2． ∴直線l的方程為x－y－2=0． 綜上可知，適合題意的直線l的方程為x－y－2=0，或x＋y－14＝0． 思維分析2：所求直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形，可知直線的斜率存在且不為零．因此，設(shè)出直線方程的點(diǎn)斜式． 解法2：設(shè)所求直線的方程為y＝kx＋b(k≠0，b≠0)． 令x＝0，得y=b；y=0，得． ∵直線l與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形， ∴． 又∵，∴． ①當(dāng)是k=1時(shí)，直線l的方程為y＝x+b， ∵點(diǎn)P(8，6)在該直線上，∴b=－2． ∴直線l的方程為y＝x－2，即x－y－2＝0． ②當(dāng)k＝－1時(shí)，直線l的方程為y=－x+b， ∵點(diǎn)P(8，6)在該直線上，∴b=14． ∴直線l的方程為y＝－x＋14，即x＋y－14＝0． 綜上可知，適合題意的直線l的方程為x－y－2＝0， 或x＋y－14＝0． 解法3：∵直線l與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，設(shè)斜邊所在的直線為l， ∴直線l的傾斜角為或． ∴直線l的斜率為k＝1，或k=－1． 又∵l過點(diǎn)P， ∴由點(diǎn)斜式得l的方程為 y－6=x－8，或y－6=－(x－8)， 即x－y－2＝0，或x＋y－14=0． 點(diǎn)撥：本題的解法3，直接運(yùn)用了圖形的性質(zhì)和直線的傾斜角的定義，得到了所求直線的傾斜角，進(jìn)而得到了所求直線的斜率，解法1和解法2告訴我們：在用待定系數(shù)法求直線的方程時(shí)，要根據(jù)題設(shè)條件，靈活選擇合適的方程形式，要清楚地掌握每種形式的局限性．