Question

直線l過點P(8，6)，且與兩坐標軸圍成等腰直角三角形，求直線l的方程．

Answer 1

答案：x-y-2=0$x+y-14＝0
解析：

思維分析1：直線l與兩坐標軸圍成等腰直角三角形，必須且只需直線l在兩坐標軸上的截距的絕對值相等且不為0． 解法1：設直線l的方程為，或(a≠0)． 當直線l的方程為時， ∵點P(8，6)在直線l上， ∴，∴a＝14． ∴直線l的方程為x＋y－14=0． 當直線l的方程為時，同理可求得a=2． ∴直線l的方程為x－y－2=0． 綜上可知，適合題意的直線l的方程為x－y－2=0，或x＋y－14＝0． 思維分析2：所求直線與兩坐標軸圍成三角形，可知直線的斜率存在且不為零．因此，設出直線方程的點斜式． 解法2：設所求直線的方程為y＝kx＋b(k≠0，b≠0)． 令x＝0，得y=b；y=0，得． ∵直線l與兩坐標軸圍成等腰直角三角形， ∴． 又∵，∴． ①當是k=1時，直線l的方程為y＝x+b， ∵點P(8，6)在該直線上，∴b=－2． ∴直線l的方程為y＝x－2，即x－y－2＝0． ②當k＝－1時，直線l的方程為y=－x+b， ∵點P(8，6)在該直線上，∴b=14． ∴直線l的方程為y＝－x＋14，即x＋y－14＝0． 綜上可知，適合題意的直線l的方程為x－y－2＝0， 或x＋y－14＝0． 解法3：∵直線l與兩坐標軸圍成等腰直角三角形，設斜邊所在的直線為l， ∴直線l的傾斜角為或． ∴直線l的斜率為k＝1，或k=－1． 又∵l過點P， ∴由點斜式得l的方程為 y－6=x－8，或y－6=－(x－8)， 即x－y－2＝0，或x＋y－14=0． 點撥：本題的解法3，直接運用了圖形的性質和直線的傾斜角的定義，得到了所求直線的傾斜角，進而得到了所求直線的斜率，解法1和解法2告訴我們：在用待定系數法求直線的方程時，要根據題設條件，靈活選擇合適的方程形式，要清楚地掌握每種形式的局限性．