Question

已知直線l₁的參數方程為

x=-3+ 2 2 t y=- 3 2 + 2 2 t

（t是參數），直線l₂的極坐標方程為ρ（2sinθ+cosθ）+6=0
（1）求直線l₁與直線l₂的交點P的坐標
（2）若直線l過點P，且與圓C：

x=5cosθ y=5sinθ

（θ為參數）相交于A、B兩點，|AB|=8，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）把極坐標方程以及參數方程轉化為直角坐標方程，通過求解方程即可得到l₁與l₂的交點A的直角坐標；
（2）由題意可得圓的方程x²+y²=25，若設直線l的參數方程為

x=-3+tcosα y=- 3 2 +tsinα

(t為參數)，代入圓的方程化簡可得|AB|=|t1-t2|=

9(2cosα+sinα)2+55

=8，解出方程即可得到直線的斜率進而得到直線l的方程．

解答：解：（1）∵直線l₂的極坐標方程為ρ（2sinθ+cosθ）+6=0
∴直線l₂的普通方程為2y+x+6=0
又∵直線l₁的參數方程為

x=-3+ 2 2 t y=- 3 2 + 2 2 t

∴(-3+

2

t)+(-3+

2

2

t)+6=0
∴t=0，∴

x=-3 y=- 3 2

∴P(-3，-

3

2

)
（2）由圓C的參數方程

x=5cosθ y=5sinθ

⇒x2+y2=25，
設直線l的參數方程為①

x=-3+tcosα y=- 3 2 +tsinα

(t為參數)，①代入圓的方程x²+y²=25
得4t²-12（2cosα+sinα）t-55=0，
∴△=16[9（2cosα+sinα）²+55]＞0，
所以方程有兩相異實數根t₁、t₂，
∴|AB|=|t1-t2|=

9(2cosα+sinα)2+55

=8，
化簡有3cos²α+4sinαcosα=0，解之cosα=0或tanα=-

3

4

，
從而求出直線l的方程為x+3=0或3x+4y+15=0．

點評：本題考查直線和圓的參數方程，參數方程與普通方程之間的轉化，以及直線參數方程中參數的幾何意義，求出|AB|，是解題的關鍵．