Question

橢圓E：

x2

16

+

y2

36

=1，過圓C：x²+y²-8x-8y+24=0上一點P（2，2）做圓C的切線l，設l與橢圓E交于A，B兩點．求

CA

•

CB

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：過P（2，2）的圓C：x²+y²-8x-8y+24=0的切線l的方程，聯立橢圓方程，求出交點A，B的坐標，進而求出向量

CA

，

CB

的坐標，代入向量數量積公式，可得答案．

解答： 解：過P（2，2）的圓C：x²+y²-8x-8y+24=0的切線l的方程為：2x+2y-8×

2+x

2

-8×

2+y

2

+24=0，即y=-x+4，
代入

x2

16

+

y2

36

=1得：13x²-32x-80=0，
解得：

x=4 y=0

，或

x=- 20 13 y= 72 13

，
又由C（4，4）得：

CA

=（0，-4），

CB

=（-

72

13

，

20

13

）
∴

CA

•

CB

=-

80

13

點評：本題考查的知識點是橢圓的簡單性質，向量的數量積運算，是向量與圓錐曲線的綜合應用，難度中檔．