Question

20．（1）已知方程x²+（m-3）x+m=0有兩個不等正實根，求實數m的取值范圍．
（2）不等式（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0對任意x∈R恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據一元二次方程的根的分布可得答案．
（2）對二次項系數進行討論求解．

解答 解：方程x²+（m-3）x+m=0有兩個不等正實根，
即${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}＞0$，${{x}_{2}x}_{1}=\frac{c}{a}＞0$，△=b²-4ac＞0，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{m-3＜0}\\{m＞0}\\{（m-3）^{2}-4m＞0}\end{array}\right.$
解得：0＜m＜1．
故得實數m的取值范圍是（0，1）．
（2）（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0對任意x∈R恒成立．
①若m²-2m-3=0，則m=-1或m=3．
當m=-1時，不合題意；當m=3時，符合題意．
②若m²-2m-3≠0，設f（x）=（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0對任意x∈R恒成立．
則：m²-2m-3＜0，△=b²-4ac＜0，
解得：$-\frac{1}{5}＜m＜3$．
故得實數m的取值范圍是（-$\frac{1}{5}$，3）．

點評 本題考查了一元二次方程的根的分布以及一元二次不等式的解法計算．屬于基礎題．