Question

【題目】數列{an}定義為a1＞0，a11=a，an+1=an+ an2 ， n∈N*
（1）若a1= （a＞0），求 + +…+ 的值；
（2）當a＞0時，定義數列{bn}，b1=ak（k≥12），bn+1=﹣1+ ，是否存在正整數i，j（i≤j），使得bi+bj=a+ a2+ ﹣1．如果存在，求出一組（i，j），如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

∴ ，

∴ ，

故 ，

∴ ；

（2）解：由 得 ，

兩邊平方得

故 ，

當b1=ak時，由 知 ，

又 ，數列{an}遞增，

故b2=ak﹣1，

類似地，b3=ak﹣2，…，bt=ak﹣t+1，

又 ， ， ，

bi+bj=a10+a12，

∴ak﹣i+1+ak﹣j+1=a10+a12，

存在正整數i，j（i≤j），k﹣i+1=12，k﹣j+1=10i=k﹣11，j=k﹣9，

存在一組（i，j）=（k﹣11，k﹣9）．

【解析】（1）化簡 可得 ，從而利用裂項求和法求和．（2）易知 ，從而可得 ，而b1=ak ， 故代入可推出b2=ak﹣1 ， 從而類比可得b3=ak﹣2 ， …，bt=ak﹣t+1 ， 從而可得ak﹣i+1+ak﹣j+1=a10+a12 ， 從而求得．