Question

7．已知$A=\{y|y=\frac{1}{{{2^x}+1}}，x≥0\}$，命題P：?x∈A，使得m≤x成立，命題q：函數$f（x）=\frac{m}{x}$在（0，+∞）上單調遞減．
（1）求集合A；
（2）若p∧q為假命題，p∨q為真命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）y=$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，x≥0，可得$0＜y≤\frac{1}{2}$．可得集合A．
（2）對于命題p：?x∈A，使得m≤x成立，可得m$≤\frac{1}{2}$．命題q：函數$f（x）=\frac{m}{x}$在（0，+∞）上單調遞減，可得m＞0．p∧q為假命題，p∨q為真命題，可得p與q必然一真一假．

解答 解：（1）∵y=$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，x≥0，∴$0＜y≤\frac{1}{2}$．A=$（0，\frac{1}{2}]$，
（2）對于命題p：?x∈A，使得m≤x成立，∴m$≤\frac{1}{2}$．
命題q：函數$f（x）=\frac{m}{x}$在（0，+∞）上單調遞減，∴m＞0．
∵p∧q為假命題，p∨q為真命題，
p與q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{1}{2}}\\{m≤0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m＞\frac{1}{2}}\\{m＞0}\end{array}\right.$．
解得m≤0，或$m＞\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了函數的單調性、簡易邏輯的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．