Question

2．已知函數f（x）=x²-2|x|
（1）判斷并證明函數f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數f（x）在（1，+∞）上的單調性，并解不等式$f（|a|+\frac{3}{2}）＞0$．

Answer 1

分析 （1）根據函數奇偶性的定義證明函數的奇偶性即可；（2）根據二次函數的性質求出函數的單調性，得到關于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）函數f（x）是偶函數，
函數f（x）的定義域為R，
且f（-x）=（-x）²-2|-x|=x²-2|x|=f（x），
所以函數f（x）是偶函數．
（2）當x∈（1，+∞）時，f（x）=x²-2x，
所以函數f（x）在（1，+∞）上是增函數，
$|a|+\frac{3}{2}＞1$，f（2）=0，由$f（|a|+\frac{3}{2}）＞f（2）$，
且函數f（x）在（1，+∞）上是增函數，
知$|a|+\frac{3}{2}＞2$，$|a|＞\frac{1}{2}$，所以$a＞\frac{1}{2}$或$a＜-\frac{1}{2}$，
即不等式$f（|a|+\frac{3}{2}）＞0$的解集是$\{a|a＞\frac{1}{2}$或$a＜-\frac{1}{2}\}$．

點評 本題考查了函數的單調性、奇偶性問題，考查解不等式問題，是一道中檔題．