Question

1．設函數f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+5x-a．
（1）當a=$\frac{1}{2}$時，求函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）對?x∈R，都有f′（x）≥m恒成立，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（2）?x∈R，f′（x）≥m恒成立?m≤[f′（x）]_min，利用導數可得f′（x），再利用二次函數的單調性即可得出f′（x）的最小值；

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$時，f（x）=x³-$\frac{9}{4}$x²+5x-$\frac{1}{2}$，
f′（x）=3x²-$\frac{9}{2}$x+5，f（1）=$\frac{13}{4}$，f′（1）=$\frac{7}{2}$，
故切線方程是：y-$\frac{13}{4}$=$\frac{7}{2}$（x-1），
即：14x-4y-1=0；
（2）函數f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+5x-a．
f′（x）=3x²-9x+5=3（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{7}{4}$，
∴[f′（x）]_min=-$\frac{7}{4}$
?x∈R，f′（x）≥m恒成立?m≤[f′（x）]_min，
∴m≤-$\frac{7}{4}$，
∴m的最大值為-$\frac{7}{4}$．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．