Question

設(shè)數(shù)列{a_n}共有n（）項(xiàng)，且，對(duì)每個(gè)i (1≤i≤，iN)，均有．
（1）當(dāng)時(shí)，寫出滿足條件的所有數(shù)列{a_n}（不必寫出過(guò)程）；
（2）當(dāng)時(shí)，求滿足條件的數(shù)列{a_n}的個(gè)數(shù)．

Answer 1

（1）共有3個(gè)：； 1，1，1； 1，2，1;（2）數(shù)列{a_n}的個(gè)數(shù)為393．

解析試題分析：（1）根據(jù)題意可得當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)轭}中要求，，也就是說(shuō)，，這樣即可得或或，故此時(shí)滿足條件的數(shù)列{a_n}共有3個(gè)：； 1，1，1； 1，2，1;（2）由題中要求可聯(lián)想到令b_i＝ (1≤i≤7)，則對(duì)每個(gè)符合條件的數(shù)列{a_n}，滿足條件：，且b_i∈ (1≤i≤7)，則此時(shí)可設(shè)符合條件的數(shù)列{b_n}的個(gè)數(shù)為N， b_i (1≤i≤7)中有k個(gè)2；從而有k個(gè)，7－2k個(gè)1，當(dāng)k給定時(shí)，{b_n}的取法有種，故此時(shí)．
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/99/2/1tn4v4.png" style="vertical-align:middle;" />，，即，，
所以或或．
故此時(shí)滿足條件的數(shù)列{a_n}共有3個(gè)：； 1，1，1； 1，2，1．          3分
（2）令b_i＝ (1≤i≤7)，則對(duì)每個(gè)符合條件的數(shù)列{a_n}，滿足條件：
，且b_i∈ (1≤i≤7)．
反之，由符合上述條件的7項(xiàng)數(shù)列{b_n}可唯一確定一個(gè)符合條件的8項(xiàng)數(shù)列{a_n}．   7分
記符合條件的數(shù)列{b_n}的個(gè)數(shù)為N．
顯然，b_i (1≤i≤7)中有k個(gè)2；從而有k個(gè)，7－2k個(gè)1．
當(dāng)k給定時(shí)，{b_n}的取法有種，易得k的可能值只有0，1，2，3，
故．
因此，符合條件的數(shù)列{a_n}的個(gè)數(shù)為393．                                   10分
考點(diǎn)：1.數(shù)列的遞推關(guān)系;2.排列組合的應(yīng)用;3.代數(shù)式的處理