Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-2|+|x+3|，x∈R．
（1）求不等式f（x）≤x+5的解集；
（2）如果關(guān)于x的不等式f（x）≥a²+4a在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用分段函數(shù)，分類討論求得不等式的解集．
（2）先利用絕對值三角不等式求得f（x）的最小值，再根據(jù)次最小值大于或等于a²+4a，求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-2x-1（{x≤-3}）}\\{5（{-3＜x＜2}）}\\{2x+1（{x≥2}）}\end{array}}\right.$，當(dāng)x≤-3時，-2x-1≤x+5，∴x＞-2，不等式無解；
當(dāng)-3＜x＜2時，5≤x+5，∴求得 0≤x＜2；
當(dāng)x≥2時，2x+1≤x+5，∴求得2≤x≤4．
綜上可得，不等式f（x）≤x+5的解集為{x|0≤x≤4}．
（2）f（x）=|x-2|+|x+3|≥|x-2-（x+3）|=5，
由a²+4a≤5，得-5≤a≤1，實數(shù)a的取值范圍為[-5，1]．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．