Question

20．已知等差數列{a_n}，公差d≠0，滿足：a₁，a₂，a₄成等比數列，且a₃+a₅=8．數列{b_n}滿足b₁=1，2b_n-b_n-1=0（n≥2，n∈N^*）．設c_n=a_n•b_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{c_n}的前n項的和T_n；
（3）設整數m、M使得m＜T_n＜M對?n∈N^*恒成立，求M-m的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據等差數列的通項公式和題中的關系，建立首項a₁與公差d的方程組，解之得a₁=1，d=2，即可得到數列{a_n}的通項公式；
（2）由等比數列的定義求得b_n；結合（1）的結果求得{c_n}的通項公式．利用錯位相減法來求T_n；
（3）利用（2）中T_n的通項公式求得M、m的值；然后求M-m的最小值．

解答 解：（1）由題設a₂²=a₁•a₄，即（a₁+d）²=a₁•（a₁+3d），亦即a₁d=d²． 
又d≠0，故a₁=d．
又由a₃+a₅=8，得a₄=4，即a₁+3d=4，于是a₁=d=1．
  a_n=1+（n-1）=n．
（2）∵2b_n-b_n-1=0，
∴$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴c_n=n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴T_n=1•（$\frac{1}{2}$）^1-1+2•（$\frac{1}{2}$）^2-1+3•（$\frac{1}{2}$）^3-1+…+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴$\frac{1}{2}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）^2-1+2•（$\frac{1}{2}$）^3-1+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{2}$+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
T_n=4[1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ]-n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
=4-4•（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
=4-（2n+4）（$\frac{1}{2}$）ⁿ；
（3）由（2）可得：T_n＜4且T_n＞3，
∴T_n+1-T_n=4-（2n+6）（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹-4+（2n+4）（$\frac{1}{2}$）ⁿ=（$\frac{1}{2}$）ⁿ（n+1）＞0，
∴T_n≥T₁=1，
∴當M=4，m=0時，M-m取得最小值4．

點評 本題主要考查了數列通項公式及數列求和的方法，屬常規題目，屬中檔題．解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．