Question

【題目】如圖，已知圓，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于.

(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

(2)已知是軌跡的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在一象限， 與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，問的面積是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相應(yīng)直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）連接，根據(jù)題意， ，則 ，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，即可求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求出的坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出的面積，利用基本不等式，即可得出結(jié)論.

試題解析：(1)∵Q在線段PF的垂直平分線上，∴|QP|＝|QF|，得|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝4，

又|EF|＝2＜4，∴Q的軌跡是以E，F為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，∴Г： ＋y2＝1.

(2)由點(diǎn)A在第一象限，B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)直線AB的方程為y＝kx(k＞0)，

∵|CA|＝|CB|，∴C在AB的垂直平分線上，∴直線OC的方程為y＝－x. ，同理可得|OC|＝

當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時(shí)取等號(hào)，∴S△ABC≥.

綜上，當(dāng)直線AB的方程為y＝x時(shí)，△ABC的面積有最小值.