Question

【題目】已知圓經過，，三點．

(1)求圓的標準方程；

(2)若過點N 的直線被圓截得的弦AB的長為，求直線的傾斜角．

Answer 1

【答案】(1) (2) 30°或90°．

【解析】

（1）解法一：將圓的方程設為一般式，將題干三個點代入圓的方程，解出相應的參數值，即可得出圓的一般方程，再化為標準方程；

解法二：求出線段和的中垂線方程，將兩中垂線方程聯立求出交點坐標，即為圓心坐標，然后計算為圓的半徑，即可寫出圓的標準方程；

（2）先利用勾股定理計算出圓心到直線的距離為，并對直線的斜率是否存在進行分類討論：一是直線的斜率不存在，得出直線的方程為，驗算圓心到該直線的距離為；

二是當直線的斜率存在時，設直線的方程為，并表示為一般式，利用圓心到直線的距離為得出關于的方程，求出的值。結合前面兩種情況求出直線的傾斜角。

（1）解法一：設圓的方程為，

則 ∴

即圓為，

∴圓的標準方程為；

解法二：則中垂線為,中垂線為，

∴圓心滿足∴，

半徑，

∴圓的標準方程為．

（2）①當斜率不存在時，即直線到圓心的距離為1，也滿足題意，

此時直線的傾斜角為90°，

②當斜率存在時，設直線的方程為，

由弦長為4，可得圓心 到直線的距離為，

，

∴，此時直線的傾斜角為30°，

綜上所述，直線的傾斜角為30°或90°．