Question

已知b＞-1，c＞0，函數f（x）=x+b的圖象與函數g（x）=x²+bx+c的圖象相切．
（1）設b=φ（c），求φ（c）；
（2）設D（x）=

g(x)

f(x)

（其中x＞-b）在[-1，+∞）上是增函數，求c的最小值；
（3）是否存在常數c，使得函數H（x）=f（x）g（x）在（-∞，+∞）內有極值點？若存在，求出c的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知函數f（x）=x+b的圖象與函數g（x）=x²+bx+c的圖象相切，聯立方程得到一個一元二次方程，方程只有一個根，△=0，推出φ（c）；
（2）把g（x）和f（x）代入D（x），然后對D（x）進行求導，證明D（x）在[-1，+∞）上是增函數，可以等價為1-

c

x+b

≥0在[-1，+∞）上恒成立，求出c的最小值；
（3）對H（x）進行化簡可得H（x）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，對其進行求導，要使函數H（x）在（-∞，+∞）內有極值點，只需要滿足△=4（b²-3c）=4（c-4

c

+1）＞0，求出c的范圍；

解答：解：（1）∵函數f（x）=x+b的圖象與函數g（x）=x²+bx+c的圖象相切，
∴方程x+b=x²+bx+c只有一個根，即x²+（b-1）x+c-b=0，
∴△=（b-1）²-4×（c-b），
∴（b+1）²=4c，b＞-1，c＞0，
∴b+1＞0，∴b=2

c

-1，
∴b=φ（c）=2

c

-1；
（2）依題意設D（x）=

x2+bx+c

x+b

=x+

c

x+b

，
∴D′（x）=1-

c

(x+b)2

=（1+

c

x+b

）（1-

c

x+b

）
∵D（x）在[-1，+∞）上是增函數，
∴（1+

c

x+b

）（1-

c

x+b

）≥0在[-1，+∞）上恒成立，
又x＞-b，c＞0，
∴上式等價于1-

c

x+b

≥0在[-1，+∞）上恒成立，
即

c

≤x+b，而由（Ⅰ）可知

c

≤x+2

c

-1，
∴

c

≥1-x，
又函數1-x在[-1，+∞）上的最大值為2，
∴

c

≥2，解得c≥4，即c的最小值為4．
（3）由H（x）=（x+b）（x²+bx+c）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc
可得H′（x）=3x²+4bx+（b²+c）
令3x²+4bx+（b²+c）=0，依題意設欲使函數H（x）在（-∞，+∞）內有極值點，
則需滿足△=4（b²-3c）=4（c-4

c

+1）＞0，
亦即c-4

c

+1＞0，解得

c

＜2-

3

或

c

＞2+

3

，
又c＞0，∴0＜c＜7-4

3

或c＞7+4

3

，
故存在常數c∈（0，7-4

3

）∪（7+4

3

，+∞），使得函數H（x）在（-∞，+∞）內有極值點．

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減，此題是一道中檔題；