Question

已知b＞-1，c＞0，函數f（x）=x+b的圖象與函數g（x）=x²+bx+c的圖象相切．
（1）設b=?（c），求?（c）；
（2）是否存在常數c，使得函數H（x）=f（x）g（x）在（-∞，+∞）內有極值點．若存在，求出c的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據導數的幾何意義可知f'（x）=g'（x），即2x+b=1，得到x=

1-b

2

為切點橫坐標，再根據圖象的公共點的坐標，得f(

1-b

2

)=g(

1-b

2

)，化簡得（b+1）²=4c．解方程，得b=?(c)=2

c

-1．
（2）將已知函數代入，得：H（x）=（x+b）（x²+bx+c）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，求導數得H′（x）是一個二次函數，要使函數H（x）在（-∞，+∞）內有極值點，說明方程H′（x）=0有兩個不同的根，再用根的判別式得到：△=4(b2-3c)=4(c-4

c

+1)＞0，結合c＞0，∴0＜c＜7-4

3

或c＞7+4

3

，故存在常數c，使得函數
H（x）在（-∞，+∞）內有極值點．

解答：解：（1）依題設可知f'（x）=g'（x），即2x+b=1，
∴x=

1-b

2

為切點橫坐標，
于是f(

1-b

2

)=g(

1-b

2

)，化簡得（b+1）²=4c．
得b=?(c)=2

c

-1．
（2）由H（x）=（x+b）（x²+bx+c）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，
可得H'（x）=3x²+4bx+（b²+c）．
令3x²+4bx+（b²+c）=0，依題設欲使函數H（x）在（-∞，+∞）內有極值點，
則須滿足△=4(b2-3c)=4(c-4

c

+1)＞0
亦即 c-4

c

+1＞0，解得

c

＜2-

3

或

c

＞2+

3

，
又c＞0，∴0＜c＜7-4

3

或c＞7+4

3

故存在常數c∈(0，7-4

3

)∪(7+4

3

，+∞)，使得函數H（x）在（-∞，+∞）內有極值點．

點評：本題考查了導數的幾何意義和利用導數研究函數的單調區間與極值，屬于中檔題．