Question

已知b＞-1，c＞0，函數f（x）=x+b的圖象與函數g（x）=x²+bx+c的圖象相切．
（Ⅰ）求b與c的關系式（用c表示b）；
（Ⅱ）設函數F（x）=f（x）g（x）在（-∞，+∞）內有極值點，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）注意把握題目中的信息，f（x）和g（x）在同一點處具有相同的切線斜率．即f′（x）=g′（x）
（2）由構造的新函數F（x）在R上有極值點，得到二次函數F′（x）有兩個零點，再將上題的結論代入可解．
解答：解：（Ⅰ）依題意，令f'（x）=g'（x），得2x+b=1，
故．由于，得（b+1）²=4c．
∵，∴．
（Ⅱ）F（x）=f（x）g（x）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc．
F′（x）=3x²+4bx+b²+c．
令F'（x）=0，即3x²+4bx+b²+c=0．
則△=16b²-12（b²+c）=4（b²-3c）．
若△=0，則F'（x）=0有一個實根x，且F'（x）的變化如下：

于是x=x不是函數F（x）的極值點．若△＞0，
則F′（x）=0有兩個不相等的實根x₁，x₂（x₁＜x₂）且F′（x）的變化如下：

由此，x=x₁是函數F（x）的極大值點，x=x₂是函數F（x）的極小值點．
綜上所述，當且僅當△=0時，函數F（x）在（-∞，+∞）上有極值點．
．
∵，∴．
解之得0＜c＜7-4或c＞7+4．
故所求c的取值范圍是（0，7-4）∪（7+4，+∞）．
點評：本題考查導數、切線、極值等知識及綜合運用數學知識解決問題的能力．其中三次多項式函數也是高考中對導數考查的常見載體．