Question

已知b＞-1，c＞0，函數f（x）=x+b的圖象與函數g（x）=x²+bx+c的圖象相切．
（Ⅰ）求b與c的關系式（用c表示b）；
（Ⅱ）設函數F（x）=f（x）g（x），
（ⅰ）當c=4時，在函數F（x）的圖象上是否存在點M（x₀，y₀），使得F（x）在點M的切線斜率為

b

3

，若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．
（ⅱ）若函數F（x）在（-∞，+∞）內有極值點，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，令f′(x)=g′(x)，得x=

1-b

2

，因為f(

1-b

2

)=g(

1-b

2

)，進而得到b與c的關系式．
（Ⅱ）（ⅰ）當c=4時，則b=3，得F′（x）=3x²+12x+13，若存在滿足條件的點M，則F′（x）=1，進而得到答案．
（ⅱ）令F′（x）=0，得△=16b²-12（b²+c）=4（b²-3c），若△=0，則F′（x）=0有兩個相等的實根，根據列表可得x=x₀不是函數F（x）的極值點．若△＞0，則F′（x）=0有兩個不相等的實根x₁，x₂（x₁＜x₂），根據列表可得x=x₁是函數F（x）的極大值點，x=x₂是函數F（x）的極小值點．進而解出答案．

解答：解：（Ⅰ）依題意，令f′(x)=g′(x)，得2x+b=1，故x=

1-b

2

．由于f(

1-b

2

)=g(

1-b

2

)，得(b+1)2=4c．
∵b＞-1，c＞0，
∴b=-1+2

c

．
（Ⅱ）由題意可得：F（x）=f（x）g（x）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，所以F′（x）=3x²+4bx+b²+c．
（ⅰ）當c=4時，則b=3，
所以F（x）=f（x）g（x）=x³+6x²+13x+12，所以F′（x）=3x²+12x+13，
若存在滿足條件的點M，則有：F′（x）=3x²+12x+13=1，
解得：x=-2，y=2，
所以這樣的點M存在，且坐標為（-2，2）．
（ⅱ）由題意可得：F（x）=f（x）g（x）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，所以F′（x）=3x²+4bx+b²+c．
令F′（x）=0，即3x²+4bx+b²+c=0；所以△=16b²-12（b²+c）=4（b²-3c），
若△=0，則F′（x）=0有兩個相等的實根，設為x₀，此時F′（x）的變化如下：

x	（-∞，x0）	x0	（x0，+∞）
F′（x）	+	0	+

于是x=x₀不是函數F（x）的極值點．
若△＞0，則F′（x）=0有兩個不相等的實根x₁，x₂（x₁＜x₂）且F′（x）的變化如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
F′（x）	+	0	-	0	+

由此，x=x₁是函數F（x）的極大值點，x=x₂是函數F（x）的極小值點．
綜上所述，當且僅當△＞0時，函數F（x）在（-∞，+∞）上有極值點.

由△=4(b2-3c)＞0得b＜- 3c 或b＞ 3c

．∵b=-1+2

c

，
∴-1+2

c

＜

3c

或-1+2

c

＞

3c

.

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握導數的幾何意義，并且熟練掌握利用導數解決極值與單調性問題．