Question

4．已知圓C的內接矩形的一條對角線上的兩個頂點坐標分別為P（1，-2），Q（3，4）．
（1）求圓C的方程； 
（2）若直線y=2x+b被圓C截得的弦長為$2\sqrt{5}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可知PQ為圓C的直徑，故可得圓心C的坐標，求出半徑，即可求圓C的方程； 
（2）求出圓心C到直線y=2x+b的距離，利用直線y=2x+b被圓C截得的弦長為$2\sqrt{5}$，建立方程，即可求b的值．

解答 解：（1）由已知可知PQ為圓C的直徑，故圓心C的坐標為（2，1），…（2分）
圓C的半徑$r=\frac{1}{2}PQ=\sqrt{10}$，…（4分）
所以圓C的方程是：（x-2）²+（y-1）²=10．…（6分）
（2）設圓心C到直線y=2x+b的距離是$d=\frac{{|{2×2-1+b}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|{b+3}|}}{{\sqrt{5}}}$，…（9分）
據題意得：${d^2}+{（\sqrt{5}）^2}=10$，…（12分）
即$\frac{{{{（b+3）}^2}}}{5}+5=10$，解之得，b=2或b=-8．…（14分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查弦長的計算，屬于中檔題．