Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2 ． （Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2 ， 可得f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），
①當(dāng)a≥0時(shí)，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，
即有f（x）在（﹣∞，1）遞減；在（1，+∞）遞增；
②當(dāng)a＜0時(shí)，若a=﹣ ，則f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上遞增；
若a＜﹣ 時(shí)，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；
由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．
即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）遞增；
在（1，ln（﹣2a））遞減；
若﹣ ＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；
由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．
即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）遞增；
在（ln（﹣2a），1）遞減；
（Ⅱ）
①由（Ⅰ）可得當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（﹣∞，1）遞減；在（1，+∞）遞增，
且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；x→﹣∞，f（x）→+∞．f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=（x﹣2）ex ， 所以f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)x=2；
③當(dāng)a＜0時(shí)，
若a＜﹣ 時(shí)，f（x）在（1，ln（﹣2a））遞減，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）遞增，
又當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）＜0，所以f（x）不存在兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a≥﹣ 時(shí)，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，又x≤1時(shí)，f（x）＜0，所以f（x）不存在兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上可得，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為（0，+∞）
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)a≥0時(shí)，a＜﹣ 時(shí)，a=﹣ 時(shí)，﹣ ＜a＜0，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；由導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；（Ⅱ）由（Ⅰ）的單調(diào)區(qū)間，對(duì)a討論，結(jié)合單調(diào)性和函數(shù)值的變化特點(diǎn)，即可得到所求范圍．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題．