Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD的底面是菱形，PA⊥面ABCD，PA=AD=2，∠ABC=60°，E為PD中點．

（1）求證：PB∥平面ACE；
（2）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：記BD∩AC=O，連結OE．

∵四棱錐P﹣ABCD的底面是菱形，∴O為BD中點．

又∵E為PD中點，∴EO∥PB

又∵PB平面ACE，EO平面ACE，

故PB∥平面ACE

（2）解：如圖，取AD的中點F，過F作FG⊥AC，垂足為點G，

連接EG，則∠EGF為二面角E﹣AC﹣D的平面角，

在Rt△∠EFG中， ，故 ，

即二面角E﹣AC﹣D的正切值為 ．

【解析】（1）記BD∩AC=O，連結OE，推導出EO∥PB，由經能證明PB∥平面ACE．（2）取AD的中點F，過F作FG⊥AC，垂足為點G，連接EG，則∠EGF為二面角E﹣AC﹣D的平面角，由此能求出二面角E﹣AC﹣D的正切值．
【考點精析】利用直線與平面平行的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．