Question

10．已知f（x）是以2為周期的偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）=x，且在[-1，3]內，關于x 的方程f（x）=kx+k+1（k≠-1）有四個根，則k取值范圍是（-$\frac{1}{3}$，0）．

Answer 1

分析 把方程f（x）=kx+k+1的根轉化為函數f（x）的圖象和y=kx+k+1的圖象的交點在同一坐標系內畫出圖象由圖可得結論．

解答 解：因為關于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R且k≠-1）有4個不同的根，
就是函數f（x）的圖象與y=kx+k+1的圖象有4個不同的交點，
f（x）是以2為周期的偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）=x，
所以可以得到函數f（x）的圖象，
又因為y=kx+k+1=k（x+1）+1過定點（-1，1），
在同一坐標系內畫出它們的圖象如圖，
由圖得y=kx+k+1=k（x+1）+1在直線AB和y=1中間時符合要求，
而K_AB=-$\frac{1}{3}$，
所以k的取值范圍是：-$\frac{1}{3}$＜k＜0
故答案為：$（-\frac{1}{3}，0）$．

點評 本題考查根的個數的應用和數形結合思想的應用．數形結合的應用大致分兩類：一是以形解數，即借助數的精確性，深刻性來講述形的某些屬性；二是以形輔數，即借助與形的直觀性，形象性來揭示數之間的某種關系，用形作為探究解題途徑，獲得問題結果的重要工具．