Question

已知點A（0，-2），B（0，4），動點P（x，y）滿足；
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設（1）中所求軌跡方程與直線y=x+2交于C、D兩點；求證OC⊥OD（O為坐標原點）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，，代入可求
（2）聯立，設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則根據方程的根與系數關系可求x₁+x₂，x₁x₂，由y₁y₂=（x₁+2）（x₂+2）=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4，代入到=x₁x₂+y₁y₂可證OC⊥OD
解答：解：（1）∵A（0，-2），B（0，4），P（x，y）
∴，
∵
∴-x（-x）+（4-y）（-2-y）=y²-8
整理可得，x²=2y
（2）聯立可得x²-2x-4=0
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=2，x₁x₂=-4，
∴y₁y₂=（x₁+2）（x₂+2）=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4=4
∵=x₁x₂+y₁y₂=0
∴OC⊥OD
點評：本題主要考查了利用向量的數量積的坐標表示求解點的軌跡方程，直線與拋物線相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用，主要考查了計算的能力．