Question

【題目】已知曲線C1上任意一點M到直線l：y＝4的距離是它到點F(0,1)距離的2倍；曲線C2是以原點為頂點，F為焦點的拋物線．

(1)求C1，C2的方程；

(2)設過點F的直線與曲線C2相交于A，B兩點，分別以A，B為切點引曲線C2的兩條切線l1，l2，設l1，l2相交于點P，連接PF的直線交曲線C1于C，D兩點，求的最小值．

Answer 1

【答案】(1) ,；（2）7

【解析】試題分析：(1)利用直接法求曲線的軌跡方程，利用拋物線的定義求曲線的標準方程；(2)設直線方程，聯立直線和橢圓的方程，得到關于的一元二次方程，利用根與系數的關系、平面向量的數量積和函數的單調性進行求解.

試題解析：(1)設M(x，y)，則＝2，

∴曲線C1的方程為＋＝1，

設曲線C2的方程為x2＝2py(p>0)，則＝1，

∴p＝2，∴曲線C2的方程為x2＝4y.

(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程為y＝kx＋1，

代入曲線C2的方程得x2－4kx－4＝0，

∴

由y＝，∴y′＝，

∴l1：y＝x－，l2：y＝x－，

∴P(，)，∴P(2k，－1)，

∴kPF＝，∴CD⊥AB，

CD：y＝－x＋1，

代入曲線C1的方程得(4k2＋3)y2－8k2y＋4k2－12＝0，

設C(x3，y3)，D(x4，y4)，

∴

∴·＝(＋)·(＋)

＝·＋·＋·＋·＝||||＋||||

＝(y1＋1)(y2＋1)＋|y3－4|·|y4|

＝(kx1＋2)(kx2＋2)＋

＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋－(y1＋y2)＋8

＝4(k2＋1)＋＝＋(t＋)

(其中t＝4k2＋3≥3)

設f(t)＝t＋ (t≥3)，

則f′(t)＝1－＝>0，

故f(t)在[3，＋∞)單調遞增，

因此·＝＋(t＋)

≥＋3＋＝7，

當且僅當t＝3即k＝0等號成立，

故·的最小值為7.