Question

已知三個點A(2,1),B(3,2),D(-1,4).

(1)求證:⊥;

(2)要使四邊形ABCD為矩形,求點C的坐標,并求矩形ABCD兩對角線所夾的銳角的余弦值.

Answer 1

(1)證明:∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),

∴=(1,1),=(-3,3).

又∵·=1×(-3)+1×3=0,

∴⊥.

(2)解:∵⊥,四邊形ABCD為矩形,

∴=.

設C點坐標為(x,y),

則(1,1)=(x+1,y-4).

∴

∴C點坐標為(0,5).

由于=(-2,4),=(-4,2).

∴·=8+8=16,

||=,||=.

設與的夾角為θ,

則cosθ=＞0,

∴與夾角的余弦值為.

∴求得矩形兩條對角線所成的角的余弦值為.

點評:要證明⊥,只需證·=0.在⊥的前提下,只要找點C使=,則C即為所求對角線所成的銳角,應求出向量與的夾角,則這個角或其補角(取銳角)為所求.