Question

5．在四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=（2，-2），$\overrightarrow{BC}$=（x，y），$\overrightarrow{CD}$=（1，$\frac{7}{2}$）．
（1）若$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{DA}$，求x，y之間的關系式；
（2）滿足（1）的同時又有$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，求x，y的值以及四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}$．$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{DA}$，利用向量共線定理即可得出．．
（2）$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$=（2+x，-2+y），$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$=$（x+1，y+\frac{7}{2}）$．由$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，可得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0，再利用S_ABCD=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BD}|$即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}$=-$（1，\frac{7}{2}）$-（x，y）-（2，-2）=（-3-x，-y-$\frac{3}{2}$）．
∵$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{DA}$，∴x（-y-$\frac{3}{2}$）-y（-3-x）=0，化為x=2y．
（2）$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$=（2+x，-2+y），$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$=$（x+1，y+\frac{7}{2}）$．
∵$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，∴（2+x）（x+1）+（y-2）（y+$\frac{7}{2}$）=0，又x=2y，
聯立解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-2}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{AC}$=$（3，-\frac{3}{2}）$，$\overrightarrow{BD}$=（2，4），$|\overrightarrow{AC}|$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，$|\overrightarrow{BD}|$=$2\sqrt{5}$．
或$\overrightarrow{AC}$=（-2，-4），$\overrightarrow{BD}$=（-3，$\frac{3}{2}$），$|\overrightarrow{AC}|$=$2\sqrt{5}$，$|\overrightarrow{BD}|$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
∴S_ABCD=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BD}|$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\frac{3\sqrt{5}}{2}$=$\frac{15}{2}$．

點評 本題考查了向量共線定理、向量垂直與數量積的共線、向量模的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．