Question

2．判斷直線kx-y+3=0與橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的位置關系．

Answer 1

分析 將直線方程y=kx+3，代入橢圓方程，由△＞0，直線與橢圓相交，△=0，直線與橢圓的相切，△＜0，直線與橢圓相離．

解答 解：當x=0，y=3，直線恒過點（0，3），y=kx+3，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+1）x²+24kx+20=0，
△=576k²-4×20×（4k²+1）=16（16k²-5），
（1）當△=16（16k²-5）＞0，即k＞$\frac{\sqrt{5}}{4}$或k＜-$\frac{\sqrt{5}}{4}$時，直線kx-y+3=0與橢圓 $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1相交；
（2）當△=16（16k²-5）=0，即k=$\frac{\sqrt{5}}{4}$或k=-$\frac{\sqrt{5}}{4}$時，直線kx-y+3=0與橢圓 $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1相切；
（3）當△=16（16k²-5）＜0，即-$\frac{\sqrt{5}}{4}$＜k＜$\frac{\sqrt{5}}{4}$時，直線kx-y+3=0與橢圓 $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1相離，
綜上可知：k∈（-∞，-$\frac{\sqrt{5}}{4}$）∪（$\frac{\sqrt{5}}{4}$，+∞）直線kx-y+3=0與橢圓 $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1相交；
k=$\frac{\sqrt{5}}{4}$或k=-$\frac{\sqrt{5}}{4}$時，直線kx-y+3=0與橢圓 $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1相切；
k∈（-$\frac{\sqrt{5}}{4}$，$\frac{\sqrt{5}}{4}$），直線kx-y+3=0與橢圓 $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1相離．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系，考查分類討論思想，屬于基礎題．