【題目】已知有窮數列
， 
， 
， 
， 
，若數列
中各項都是集合
的元素，則稱該數列為
數列．
對于
數列
，定義如下操作過程
從
中任取兩項
， 
，將
的值添在
的最后，然后刪除
， 
，這樣得到一個
項的新數列，記作
（約定：一個數也視作數列）．若
還是
數列，可繼續實施操作過程
．得到的新數列記作
， 
，如此經過
次操作后得到的新數列記作
．
（Ⅰ）設
， 
， 
， 
，請寫出
的所有可能的結果．
（Ⅱ）求證：對
數列
實施操作過程
后得到的數列
仍是
數列．
（Ⅲ）設
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，求
的所有可能的結果，并說明理由．
【答案】（
）見解析（
）見解析（
）
．
【解析】試題分析：（1）
中任取2項，有
種取法，所以可以得到6種
；（2）由
，有
，得證；（3）經驗證，我們可知
數列滿足交換律和結合律，與具體操作過程無關，則
，
易知
， 
， 
， 
．
，所以
．
試題解析：
（
）
有如下
種可知結果： 
， 
， 
； 
， 
， 
；
， 
， 
； 
， 
， 
； 
， 
， 
； 
， 
， 
．
（
）證明：∵
， 
，有：
且
，
∴
．
故對
數列實施操作
后得到的數列
仍是
數列．
（
）由題意可知
中僅有一項，
對于滿足
， 
的實數
， 
定義運算： 
，
下面證明這種運算滿足交換律和結合律．
∵
，且
，
∴
，即該運算滿足交換律．
∵
，
．
∴
，即該運算滿足結合律，
∴
中的項與實施的具體操作過程無關．
選擇如下操作過程求
，由（
）可知
，
易知
， 
， 
， 
．
．
綜上可知
．
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，以
為極點， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
， 
分別為
與
軸， 
軸的交點.
（1）寫出
的直角坐標方程，并求
的極坐標；
（2）設
的中點為
，求直線
的極坐標方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知集合
，其中
，由
中的元素構成兩個相應的集合：
， 
．
其中
是有序數對，集合
和
中的元素個數分別為
和
．
若對于任意的
，總有
，則稱集合
具有性質
．
（Ⅰ）檢驗集合
與
是否具有性質
并對其中具有性質
的集合，寫出相應的集合
和
．
（Ⅱ）對任何具有性質
的集合
，證明
．
（Ⅲ）判斷
和
的大小關系，并證明你的結論．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，正方體
的棱長為1，線段
上有兩個動點
，則下列結論中正確結論的序號是__________．
①
；
②直線
與平面
所成角的正弦值為定值
；
③當
為定值，則三棱錐
的體積為定值；
④異面直線
所成的角的余弦值為定值
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若實數數列
滿足
，則稱數列
為“
數列”．
（Ⅰ）若數列
是
數列，且
，求
，
的值；
（Ⅱ）求證：若數列是數列，則
的項不可能全是正數，也不可能全是負數；
（Ⅲ）若數列
為數列，且
中不含值為零的項，記
前
項中值為負數的項的個數為
，求
所有可能取值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，函數
的導函數為
．
⑴ 若直線
與曲線
恒相切于同一定點，求
的方程；
⑵ 若
，求證：當
時， 
恒成立；
⑶ 若當
時， 
恒成立，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展開式中x的系數為11．
(1)求x2的系數取最小值時n的值；
(2)當x2的系數取得最小值時，求f(x)展開式中x的奇次冪項的系數之和．
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