Question

過點P（0，2）的直線和拋物線y²=8x交于A，B兩點，若線段AB的中點在直線x=2上，求弦AB的長．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設弦AB的中點C（2，m），交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線BA的方程為y=

m-2

2

x+2．與拋物線方程聯立化為（m-2）y²-16y+32=0，m≠2．利用中點坐標公式可得y1+y2=

16

m-2

=2m，化為m²-2m-8=0，解得m．再利用|AB|=

(1+1)[(y1+y2)2-4y1y2]

即可得出．

解答： 解：設弦AB的中點C（2，m），交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直線BA的方程為y=

m-2

2

x+2．
聯立

y= m-2 2 x+2 y2=8x

，化為（m-2）y²-16y+32=0，（*）
m≠2．
∴y1+y2=

16

m-2

=2m，化為m²-2m-8=0，
解得m=4或-2．
當m=4時，中點C（2，4）在拋物線上，舍去．
∴m=-2．
（*）化為y²+4y-8=0，
∴y₁+y₂=-4，y₁y₂=-8．
∴|AB|=

(1+1)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

2[(-4)2-4×(-8)]

=4

6

．

點評：本題考查了直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、中點坐標公式、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．