【題目】已知函數
，
．
（Ⅰ）若
，討論函數
的單調性；
（Ⅱ）若對任意的
，都有
，求實數
的取值范圍．
【答案】（Ⅰ）分類討論，詳見解析；（Ⅱ）
．
【解析】
（Ⅰ）求導后，分別在
、
和
三種情況下求得
的正負，由此可確定
單調性；
（Ⅱ）令
，分別在
、
和
三種情況下，利用導數確定
單調性和最值，進而確定符合題意的取值范圍.
（Ⅰ）由題意得：定義域為
，
則
，
①當時，
由
可得：
或
；由
可得：
；
的單調增區間為
，
，單調遞減區間為
；
②當時，則
，此時的單調遞增區間為；
③當時，
由可得：
或
；由可得：
；
的單調增區間為
，
，單調遞減區間為
；
綜上所述：當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減．
（Ⅱ）令，則
，
，
①當時，令
，解得：
，
，
，
，
當
時，
，
在
上單調遞增，
，滿足題意；
②當時，由①知：
，
當
時，
，在
上單調遞減，
則當時，
，不合題意；
③當時，
，則，在上單調遞減，
當
時，，不合題意；
綜上所述：實數
的取值范圍為.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在如圖所示的四棱錐
中，四邊形
為平行四邊形，
為邊長為2的等邊三角形，
，點
，
分別為
，
的中點，
是異面直線和
的公垂線．
（1）證明：平面
平面
；
（2）記
的重心為
，求直線
與平面所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解全市統考情況，從所有參加考試的考生中抽取4000名考生的成績，頻率分布直方圖如下圖所示.
（1）求這4000名考生的半均成績
（同一組中數據用該組區間中點作代表）；
（2）由直方圖可認為考生考試成績z服從正態分布
，其中
分別取考生的平均成績和考生成績的方差
，那么抽取的4000名考生成績超過84.81分（含84.81分）的人數估計有多少人？
（3）如果用抽取的考生成績的情況來估計全市考生的成績情況，現從全市考生中隨機抽取4名考生，記成績不超過84.81分的考生人數為
，求
.（精確到0.001）
附：①
；
②
，則
；
③
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】保險公司對一個擁有20000人的企業推出一款意外險產品，每年每位職工只要交少量保費，發生意外后可一次性獲得若干賠償金，保險公司把企業的所有崗位共分為
三類工種，從事這三類工種的人數分別為12000，6000，2000，由歷史數據統計出三類工種的賠付頻率如下表(并以此估計賠付概率)：
已知三類工種職工每人每年需交的保費分別為25元25元40元，出險后的賠償金額分別為100萬元100萬元50萬元，保險公司在開展此項業務過程中的固定支出為每年10萬元.
（1）設A類工種職工的每份保單保險公司的收益為隨機變量X(元)，求X的數學期望；
（2）若該公司全員參加保險，求保險公司該業務所獲利潤的期望值；
（3）現有如下兩個方案供企業選擇：
方案1：企業不與保險公司合作，職工不交保險，若出意外，企業自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠付給出意外職工，且企業開展這項工作每年還需另外固定支出12萬元；
方案2：企業與保險公司合作，企業負責職工保費的70%，職工個人負責保費的30%，出險后賠償金由保險公司賠付，企業無額外專項開支.
請根據企業成本差異給出選擇合適方案的建議.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下圖是某校某班44名同學的某次考試的物理成績y和數學成績x的散點圖：
根據散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系，但圖中有兩個異常點A，B．經調查得知，A考生由于重感冒導致物理考試發揮失常，B生因故未能參加物理考試．為了使分析結果更科學準確，剔除這兩組數據后，對剩下的數據作處理，得到一些統計量的值：
，
，
，
，
，其中
，
分別表示這42名同學的數學成績、物理成績，
．y與x的相關系數
．
（1）若不剔除A、B兩名考生的數據，用44數據作回歸分析，設此時y與x的相關系數為
，試判斷與r的大小關系，并說明理由；
（2）求y關于x的線性回歸方程（系數精確到
），并估計如果B考生參加了這次物理考試（已知B考生的數學成績為125分），物理成績是多少？（精確到個位）．
附：回歸方程
中，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設拋物線
的焦點為
，直線
與拋物線交于
兩點.
（1）若過點，且
，求的斜率；
（2）若
，且的斜率為
，當
時，求在
軸上的截距的取值范圍（用
表示），并證明
的平分線始終與軸平行.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分12分）一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數字
，
，
，這三張卡片除標記的數字外完全相同。隨機有放回地抽取次，每次抽取張，將抽取的卡片上的數字依次記為
，
，
.
（Ⅰ）求“抽取的卡片上的數字滿足
”的概率；
（Ⅱ）求“抽取的卡片上的數字，，不完全相同”的概率.
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