Question

【題目】設拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點.

（1）若過點，且，求的斜率；

（2）若，且的斜率為，當時，求在軸上的截距的取值范圍（用表示），并證明的平分線始終與軸平行.

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見解析

【解析】

（1）設直線的方程為與拋物線方程聯立求解，得到，，

利用轉化求即可.

（2）直線的方程為與拋物線方程聯立求解，利用根與系數的關系可得軸上的截距的取值范圍；要證明的平分線與軸平行，則只需要直線的斜率互補，即證明.

解：（1）當直線的斜率不存在時，直線l的方程為，代入拋物線方程可得，即，

所以，

但，故直線的斜率存在，設其方程為.

由得，

設，則，

所以，

解得，所以直線的斜率為.

（2）設直線的方程為.

由得，

則.

由，得.又，所以，從而在軸上的截距的取值范圍為.

，

所以直線的斜率互補，從而的平分線始終與軸平行.