Question

【題目】某市教學研究室為了對今后所出試題的難度有更好的把握，提高命題質量，對該市高三理科數學試卷的得分情況進行了調研．從全市參加考試的理科考生中隨機抽取了100名考生的數學成績（滿分150分），將數據分成9組：，，，，，，，，，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．用統計的方法得到樣本標準差，以頻率值作為概率估計值．

（Ⅰ）根據頻率分布直方圖，求抽取的100名理科考生數學成績的平均分及眾數；

（Ⅱ）用頻率估計概率，從該市所有高三理科考生的數學成績中隨機抽取3個，記理科數學成績位于區間內的個數為，求的分布列及數學期望；

（Ⅲ）從該市高三理科數學考試成績中任意抽取一份，記其成績為，依據以下不等式評判（表示對應事件的概率）：

①，②，

③，其中．

評判規則：若至少滿足以上兩個不等式，則給予這套試卷好評，否則差評．試問：這套試卷得到好評還是差評？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）平均分，眾數；（Ⅱ）分布列詳見解析，；（Ⅲ）得到好評．

【解析】

（Ⅰ）利用頻率分布直方圖估計平均數和眾數的方法可直接求得結果；

（Ⅱ）根據頻率分布直方圖計算可知理科數學成績位于內的概率為，則，由此計算出的每個取值對應的概率，由此得到分布列；由二項分布數學期望計算公式計算可得；

（Ⅲ）計算每個區間取值所對應的概率與原則所對應的概率之間的大小關系，從而得到結論.

（Ⅰ）；

眾數：；

（Ⅱ）用頻率估計概率，可得從該市所有高三考生的理科數學成績中隨機抽取個，理科數學成績位于內的概率為，則隨機變量服從二項分布，故．

由題意知：所有可能的取值為，

；；；；

的分布列為：

數學期望；

（Ⅲ）記該市高三考生的理科數學成績為，由（Ⅰ）可知，，又，

則，，，

，，，

，

，

，

符合②③，不符合①，這套試卷得到好評．