Question

【題目】如圖，側棱與底面垂直的四棱柱的底面是平行四邊形，，．

（1）求證：∥平面；

（2）若，，，求與平面所成角的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）90°．

【解析】

（1）取的中點，連接、．設，連接．可證明，從而可證得線面平行；

（2）由余弦定理求得，從而由勾股定理逆定理得．然后以為坐標原點，以，，所在方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，用空間向量法求得線面角．

（1）取的中點，連接、．設，連接．

由題意，是線段的中點，是線段的中點，

所以是的中位線，

所以．

由題意，，，，

所以，又，所以四邊形是平行四邊形．

所以．

又，所以．

又平面，平面，

所以平面．

（2）在中，，，

由余弦定理，得．

可見，所以．

以為坐標原點，以，，所在方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，

則，，，．

所以，，．

設為平面的法向量，則即

令，則．

可見，就是平面的一個法向量，所以與平面所成的角為90°．